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Disquisitiones Arithmeticaeを読むスレ

1 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 17:25:32
やっちまった・・・orz

2 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 18:17:58
1.
整数aが整数bとcの差を割り切るとき、bとcはaに関して合同であるといい、
そうでないとき、bとcは非合同であるという。aをmodulusという。
前者の場合、整数b、cの一方は他方の剰余であるといい、
後者の場合、非剰余であるという。


誰が何で、modulusに「法」なんて訳語を当てたんだろ?

3 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 19:58:14
2.
aの、モジュラスmに関する全ての剰余は式a+kmに含まれる。
kは不定な整数を表す。
bとcがモジュラスaに従って合同であることを、記号≡を用いて、
b≡c (mod.a)で表す。


そういやガウスの時代にはまだ集合概念がなかったんですねー

4 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 20:06:58
この時代は内包を表す述語の概念しか無い。

5 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 20:09:22
1,2,3はあっても、{1,2,3}はなかったんだよな。

6 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 20:28:17
3.
定理.m個の連続する整数a、a+1・・・a+m−1と別の整数Aをとると、
それらのどれかはモジュラスmについてこれに合同であり、それはただ一つである。

7 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 20:47:20
集合概念をもたなくても、a+kmみたいな書き方をするあたり、
剰余類の概念は感覚的に掴んでいたんですかねー

8 :132人目の素数さん:2011/01/22(土) 20:56:43
さすがに何言ってるのかわかりづらいw
言い直し。

3.
定理.m個の連続する整数a、a+1・・・a+m−1と別の整数Aをとると、
m個の整数のいずれかはモジュラスmに関してAと合同であり、それはただ一つである。


9 :132人目の素数さん:2011/01/23(日) 09:17:54
DAの3.の証明の書き方は
  自然数の空でない部分集合は最小限をもつ  ・・・(☆)
ってことを意識してるっぽいよね。違う書き様もあるのに。俺たちにできないことを(ry

(☆)は数学的帰納法の原理と同等。(杉浦の解析入門I)




10 :132人目の素数さん:2011/01/23(日) 09:36:35
整数に関する定理の証明でいきなり分数を使うのもなんだし、書き方もちょっと
今風にして3.の証明のスケッチ

a−Aがmで割り切れず、かつa−A>0のとき
集合{mk|kは自然数、mk>a−A}は自然数の空でない部分集合だから
最小元k0をもつ。このことから定理は従う。

11 :132人目の素数さん:2011/01/23(日) 11:34:52
>>9
誤字

最小限−>最小元

12 :132人目の素数さん:2011/01/24(月) 18:03:09
4.
任意の整数は数列0、1、・・・、m−1あるいは0、−1、・・・、−(m−1)の中に
剰余をもつ。それを最小剰余とよぶ。

0が剰余になるのでなければ、つねに2つの最小剰余が与えられる。それらのうち
一方は正で、他方は負である。

任意の整数は、絶対値がモジュラスの半分を超えない最小剰余をもつ。すなわち、
任意の整数aに対して整数bが存在して、a≡b (mod.m)かつ|b|≦m/2。
これを絶対最小剰余とよぶ。

13 :132人目の素数さん:2011/01/24(月) 18:07:22
5.
a≡b (mod.mn)ならばa≡b (mod.m)

a≡b (mod.m) かつ b≡c (mod.m) ならば a≡c (mod.m)


14 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:17:42
6.
A≡a (mod.m) かつ B≡b (mod.m) ならば A+B≡a+b (mod.m)

A≡a (mod.m) かつ B≡b (mod.m) ならば A−B≡a−b (mod.m)

15 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:19:18
7.
A≡a (mod.m) ならば kA≡ka (mod.m)

A≡a (mod.m) かつ B≡b (mod.m) ならば AB≡ab (mod.m)

16 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:20:50
8.
kを正の整数とする。
A≡a (mod.m) ならば A^k≡a^k (mod.m) 

17 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:25:57
f(x)を整係数多項式とする。
A≡a (mod.m) ならば f(A)≡f(a) (mod.m))

18 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:29:56
>>17は9.

10.
整係数多項式f(x)に整数を代入していくと、m項からなる数列が
反復して繰り返される。これをm項周期という。

19 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:38:55
10.
整係数多項式f(x)に整数を代入して最小剰余に還元していくと、
m項からなる数列が反復して繰り返される。これをm項周期という。
f(x)=x^3−8x+6、m=5とすると、正の最小剰余は
1,4,3,4,3が無限に繰り返される。

11.
f(x)≡0 (mod.5)、f(x)≡2 (mod.5)にはなり得ないので
f(x)=0、f(x)=2は整数解をもたない。従って有理数解ももたない。


20 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:43:02
このあたりは初頭整数論でよく知られている。
どうせ途中でやめるなら2次形式のとこからやれ

21 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 15:44:11
初頭整数論 → 初等整数論

22 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 16:38:54
>>20
やだ

23 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 16:39:44
頭の体操なら数オリ問題の方が上

24 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 16:59:31
>>20
言うことはわかるけどね。記号とか多少違うし最初からやろうや。
次に素因数分解の一意性の証明が出てくるけど、ユークリッドの
互除法を使うやり方とはちょっと趣が違ってまあ結構面白いぜw

誰がどのようにやっても構わんが、とりあえず順番にやっていくという
ルールでやらんか?


25 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 17:03:53
>>23
なるほど、二流だ。的が外れてやがる。

26 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 17:05:13
一流はこんな掃き溜めに読者を求めないw

27 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 17:14:01
25はアカギ

28 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 17:26:16
俺は数学科の学生ではないので、クマーほどの見識もないし、
間違いは多々あるとおもうw

29 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 19:27:42
>>24
ほんとに言ってること分かってるのか?
4章までの内容はそこらに腐るほどある初等整数論の本に大体書かれてる。
この本の肝は2次形式論なんだよ
しかもその内容は現代でも扱ってる本は非常に少ない。
これをやらないとこの本を読む意味はほとんどない
初めからやるとそこまでいかないで挫折するだろ

30 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 20:31:32
やれやれwまあせっかくプロい人も来られているようなので5章から始めますか。
正直、種の理論は自分の手には余るかもしれませんがw

ところで、>>22は俺ではない。だから最初からやる方がいいって人もいるんでしょう。
折に触れて10.の続きも入れていきます。てか、別の方がやってくれもいいですよw

31 :132人目の素数さん:2011/01/25(火) 23:00:26
>>2
訳語でなく和算あたりの用語なのでは?
小さい頃そろばん習ってたときに実とか法とか商とか言ってた気がする。

32 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 06:09:46
なるほど、和算ですか。
モジュラスは別のとこでも使われるから、その方がかぶらなくてよいのかも。

33 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 06:13:18
153.
二次形式ax^2+2bxy+cy^2を(a,b,c)で表す。
(a,b,c)と(c,b,a)は相異なるものとして区別する。

34 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 06:20:10
154.
定理
二次形式(a,b,c)と整数Mに対して、互いに素な整数m、nが存在して、
M=am^2+2bmn+cn^2となるとき、b^2−acはMの平方剰余である。

※aがmの平方剰余であるとは、x^2≡a (mod.m)が解を持つことをいう。

35 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 07:39:22
154.の証明

m、nは互いに素なのでμm−νn=1となる整数μ、νがとれる。
行列X=[m,n;ν,μ]とA=[a,b:c,d]について
XA(tX)の成分を計算して両辺の行列式をとる。ここでtXはXの
転倒行列を表す。これをmod.Mに還元して
b^2−ac≡(μ(bm+cn)+ν(am+bn))^2 (mod.M)
を得る。

36 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 07:41:59
二次形式(a,b,c)と整数Mに対して、整数m、nが存在して、
M=am^2+2bmn+cn^2となるとき、
Mは二次形式(a,b,c)によって表現されるという。

37 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 21:59:58
155.
154.の定理よりv=μ(bm+cn)+ν(am+bn)は
x^2≡b^2−ac (mod.M)の解のである。
vの値は、mod.Mに関して(μ,ν)の取り方に依らず
一意に定まることを示そう。

38 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 22:10:31
mx−ny=1の解を(μ,ν)、(μ’,ν’)とすると、
(μ’,ν’)=(μ,ν)+k(n,m) (kは整数)
また、v’=μ’(bm+cn)+ν’(am+bn)とおく。
μ(bm+cn)+ν(am+bn)=(m,n)(a,b;c,d)(t(ν,μ))
に注意して、v’=v+kM≡v (mod.M)を得る。



39 :132人目の素数さん:2011/01/26(水) 22:11:14
逆に、v’≡v (mod.M)となるv’が与えられれば、
k=(v’−v)/Mとしてμ’,ν’が定まる。

40 :132人目の素数さん:2011/01/27(木) 20:36:40
以下、二次形式の判別式は≠0とする。

157.
二次形式Fの表現行列を(a,b;c,d)、
二次形式F’の表現行列を(a’,b’;c’,d’)とする。

整数α、β、γ、δが存在して、
(a’,b’;c’,d’)=t(α,β,γ,δ)(a,b;c,d)(α,β,γ,δ)
となるとき、FはF’を含むという。F≧F’と書くことにする。

F≧F’かつF’≧Fのとき、FとF’は同等であるという。F〜F’と書くことにする。

41 :132人目の素数さん:2011/01/27(木) 20:43:23
F≧F’のときb’^2−a’c’=(αδ−βγ)^2(b^2−ac)
よって、F〜F’⇒b’^2−a’c’=b^2−ac⇔(αδ−βγ)^2=1
同等であるために判別式が等しいことは必要であるが、
十分であるとは限らない。

42 :132人目の素数さん:2011/01/27(木) 20:46:08
αδ−βγ>0のとき、(α,β;γ,δ)を固有変換と呼び、
またF’はFに固有に含まれるということにする。

αδ−βγ<0のとき、(α,β;γ,δ)を非固有変換と呼び、
またF’はFに非固有に含まれるということにする。

43 :132人目の素数さん:2011/01/27(木) 20:48:49
(α,β;γ,δ)と(α’,β’;γ’,δ’)が同種であるとは
(αδ−βγ)(α’δ’−β’γ’)>0であるときをいう。

(α,β;γ,δ)と(α’,β’;γ’,δ’)が異種であるとは
(αδ−βγ)(α’δ’−β’γ’)<0であるときをいう。


44 :132人目の素数さん:2011/01/28(金) 06:44:46
158.
二次形式FとF’が同等であるとする。
F’がFに固有(非固有)に含まれるならば、FもF’に固有(非固有)に含まれる。
このとき、FとF’は固有(非固有)に同等であるということにする。

45 :132人目の素数さん:2011/01/29(土) 22:26:25
FとF’が固有に同等であるとき、F〜F’(固)と書くことにする。
FとF’が非固有に同等であるとき、F〜F’(非)と書くことにする。

46 :132人目の素数さん:2011/01/29(土) 22:30:34
159.
F≧F’かつF’≧F’’ならばF≧F’’
F〜F’かつF’〜F’’ならばF〜F’’

特に、
F〜F’(固)かつF’〜F’’(固)ならばF〜F’’(固)
F〜F’(非)かつF’〜F’’(非)ならばF〜F’’(固)
F〜F’(固)かつF’〜F’’(非)ならばF〜F’’(非)
F〜F’(非)かつF’〜F’’(固)ならばF〜F’’(非)

47 :132人目の素数さん:2011/01/29(土) 22:38:10
(a,−b,c)〜(a,b,c) (非)
 ∵(1,0;0,−1)(a,−b;−b,c)(1,0;0,−1)=(a,b;b,c)

(c,b,a)〜(a,b,c) (非)
 ∵(0,1;1,0)(c,b;b,a)(0,1;1,0)=(a,b;b,c)

(c,−b,a)〜(a,b,c) (固)
 ∵(0,−1;1,0)(c,−b;−b,a)(0,1;−1,0)=(a,b;b,c)

48 :132人目の素数さん:2011/01/30(日) 20:56:30
162.
二次形式ax^2+2bxy+cz^2は二次形式a’x^2+2b’xy+c’z^2を含むとし、
(a’,b’;c’,d’)=t(α,β;γ,δ)(a,b;c,d)(α,β;γ,δ)
α,β;γ,δは整数
とする。

(α,β;γ,δ)と同種な任意の変換を構成する。

49 :132人目の素数さん:2011/01/30(日) 21:19:20
(a’,b’;c’,d’)=t(α’,β’;γ’,δ’)(a,b;c,d)(α’,β’;γ’,δ’)
α’,β’,γ’,δ’は整数
とすると、(αδ−βγ)^2=(α’δ’−β’γ’)^2
同種なので、αδ−βγ=α’δ’−β’γ’

(α’’,β’’;γ’’,δ’’)=(α’,β’;γ’,δ’)(α,β;γ,δ)^(−1)
とすると、α’’δ’’−β’’γ’’=1
また、
(a,b;c,d)=t(α’’,β’’;γ’’,δ’’)(a,b;c,d)(α’’,β’’;γ’’,δ’’)
となるので、
(a,b;c,d)(δ’’,−β’’;−γ’’,α’’)=(α’’,γ’’;β’’,δ’’)(a,b;c,d)
(1,1)成分を比較して、
a(α’’−δ’’)+2bγ’’=0
(1,2)成分を比較して、
aβ’’+cγ’’=0
よって、a、2b、cの最大公約数をmとすると、整数uが存在して、
α’’−δ’’=2bu/m、γ’’=−au/m、β’’=cu/m
こうして、t=(m/2)(α’’+δ’’)、D=b^2−acとおいて、
t^2−Du^2=m^2を得る。ここで、t、uは整数である。

50 :132人目の素数さん:2011/01/30(日) 21:22:20
つまり、二次形式ax^2+2bxy+cz^2から
二次形式a’x^2+2b’xy+c’z^2への2つの同種な変換より
不定方程式x^2−Dy^2=m^2の整数解を構成することができる。

51 :132人目の素数さん:2011/01/30(日) 21:29:42
α’’+δ’’=2t/m、α’’−δ’’=2bu/mより
α’’=(t+bu)/m、δ’’=(t−bu)/mとなるので、
α’=(1/m){αt+(αb+γc)u}
β’=(1/m){βt+(βb+δc)u}
γ’=(1/m){γt−(αa+γb)u}
δ’=(1/m){δt−(βa+δb)u}

52 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 00:10:53
α’’,β’’,γ’’,δ’’は整数とは限らないのでこれではダメですねorz
後ほどやり直します><

53 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 01:33:39
>>48-51の訂正

162.
二次形式ax^2+2bxy+cz^2は二次形式a’x^2+2b’xy+c’z^2を含むとし、
(a’,b’;b’,c’)=t(α,β;γ,δ)(a,b;b,c)(α,β;γ,δ)
α,β,γ,δは整数
とする。

(α,β;γ,δ)と同種な任意の変換を構成する。


54 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 01:43:45
(a’,b’;b’,c’)=t(α’,β’;γ’,δ’)(a,b;b,c)(α’,β’;γ’,δ’)
α’,β’,γ’,δ’は整数
とすると、(αδ−βγ)^2=(α’δ’−β’γ’)^2
同種なので、αδ−βγ=α’δ’−β’γ’

(α’’,β’’;γ’’,δ’’)=(α’,β’;γ’,δ’)(δ,−β;−γ,α)とすると、
α’’δ’’−β’’γ’’=(αδ−βγ)^2
また、(αδ−βγ)^2(a,b;c,d)
=t(α’’,β’’;γ’’,δ’’)(a,b;c,d)(α’’,β’’;γ’’,δ’’)
となるので、
(a,b;c,d)(δ’’,−β’’;−γ’’,α’’)=(α’’,γ’’;β’’,δ’’)(a,b;c,d)
(1,1)成分を比較して、
a(α’’−δ’’)+2bγ’’=0
(1,2)成分を比較して、
aβ’’+cγ’’=0
よって、a、2b、cの最大公約数をmとすると、整数uが存在して、
α’’−δ’’=2bu/m、γ’’=−au/m、β’’=cu/m
こうして、t=(m/2)(α’’+δ’’)、D=b^2−acとおいて、
t^2−Du^2=m^2を得る。ここで、t、uは整数である。


55 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 01:44:29
つまり、二次形式ax^2+2bxy+cz^2から
二次形式a’x^2+2b’xy+c’z^2への2つの同種な変換より
不定方程式x^2−Dy^2=m^2の整数解を構成することができる。

56 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 01:47:05
α’’+δ’’=2t/m、α’’−δ’’=2bu/mより
α’’=(t+bu)/m、δ’’=(t−bu)/mとなるので、
α’={1/m(αδ−βγ)}{αt+(αb+γc)u}
β’={1/m(αδ−βγ)}{βt+(βb+δc)u}
γ’={1/m(αδ−βγ)}{γt−(αa+γb)u}
δ’={1/m(αδ−βγ)}{δt−(βa+δb)u}

57 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 13:52:47
訂正抜けてた。

>>54
t^2−Du^2=m^2 −> t^2−Du^2=(m(αδ−βγ))^2

>>55
x^2−Dy^2=m^2 −> x^2−Dy^2=(m(αδ−βγ))^2

58 :132人目の素数さん:2011/01/31(月) 15:18:00
コテつけ無いと落書きされるで

59 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/01(火) 01:46:43
検索には便利そうですねー。仰せのとおりに。

60 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/04(金) 13:41:45
逆に、t、uがt^2−Du^2=(m(αδ−βγ))^2を満たす整数であるとき、
(t+bu)/mと(t−bu)/mはそれぞれ整数であることを示そう。

61 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/04(金) 13:56:25
D=b^2−acであったので、
t^2−b^2u^2=(m(αδ−βγ))^2−acu^2
mはa、2b、cの最大公約数であったので、
4t^2はm^2の倍数であり、2tはmの倍数。
従って、2(t+bu)/mと2(t−bu)/mは整数となり、
2数の差は偶数になることがわかる。
また2数の積は4の倍数になることがわかるので、
2(t+bu)/mと2(t−bu)/mは偶数である。
以上により、主張が示された。

62 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/04(金) 14:08:00
二次形式a’x^2+2b’xy+c’z^2が二次形式ax^2+2bxy+cz^2が
同等であるときには、αδ−βγ=±1であるので、同種な変換を
x^2−Dy^2=m^2の整数解から構成することができる。

同等でない場合は、変換行列の成分に分数を含む場合が生じる。

63 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/06(日) 02:22:57
163.
159.(>>46)より、(a,−b,c)〜(a,b,c) (非)であったので、
(a,0,c)は自分自身と固有的かつ非固有的に同等であることがわかる。

より一般的に、
2bがaで割り切れるとき、(a,b,c)と(c,b,a)は固有的かつ非固有的に
同等である。

∵(−1,0;−2b/a,1)(a,b;b,d)(−1,−2b/a;0,1)=(a,b;b,d)

64 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/06(日) 02:25:53
2bがaで割り切れるときの二次形式(a,b,c)を双性形式と呼ぶことにする。

65 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:04:11
二次形式F’は二次形式Fに従属するとする。
F≧G≧F’で、自分自身と固有的かつ非固有的に同等であるような
二次形式Gが存在したとする。
このとき、F’はFに固有的かつ非固有的に従属する。

これは明らかなことであるが、これの逆が成りたつ。

66 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:06:39
二次形式F’は二次形式Fに固有的かつ非固有的に従属するとする。
このとき、双性形式Gが存在して、F≧G≧F’となる。

67 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:07:21
>>66は164.

68 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:11:16
ここからしばらく164.の証明

ガウスの式変形が神すぎて、全く訳がわからない。
兎に角やるです。

69 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:32:14
簡便のため、FおよびF’の表現行列をそれぞれF、F’で表すことにする。
また、行列Aの余因子行列をcAで表すことにする。

整数行列T、T’が
F’=tTFT=tT’FT’、det(T)det(T’)<0
を満たすとする。

det(T)^2=det(T’)^2かつdet(T)det(T’)<0よりdet(T)+det(T’)=0・・・@

T’’=T’cTとすると、tT’’F=−FcT’’・・・A

70 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/10(木) 19:46:58
Aより
t(T’’+cT’’)F+F(T’’+cT’’)
=tT’’F+FcT’’+t(tT’’F+FcT’’)=0
T’’+cT’’=tr(T’’)I (I は単位行列)
なので、tr(T’’)=tr(T’cT)=0・・・B
また、det(T+T’)=det(T)+det(T’)+tr(T’cT)=0・・・C

71 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/11(金) 22:44:34
複雑な式を打ってると自分自身間違えてしまうので、texでうpることにしました。
とりあえず、153-162まで。

ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf529
DLkey gauss

72 :132人目の素数さん:2011/02/12(土) 23:15:46
pdfわかりやすいよ。

73 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/17(木) 00:39:59
ちょっと表記の仕方を前回と変えました。
やっぱ列ベクトルの方が慣れてて扱い易ので。

ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf545
DLkey gauss

74 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/17(木) 00:41:17
163, 164 death

75 :132人目の素数さん:2011/02/19(土) 00:19:58
がうすの二元二次形式の理論、三元二次形式の理論、特に後者は難解だ。
もっと現代的に整理しなおした良い教科書みたいなものは無いのだろうか?

76 :132人目の素数さん:2011/02/19(土) 01:17:35
>>75
あるよ。
p=x^2+n y^2
という本。著者はど忘れ。

77 :132人目の素数さん:2011/02/19(土) 02:50:16
David A. Coxか?

78 :132人目の素数さん:2011/02/19(土) 03:07:23
大学入ったころ最初の100pほど邦訳のを読んだなぁ。
今でも普通に数学の本として面白いんだからすごいよねぇ。

79 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/21(月) 14:41:21.76
test

80 :132人目の素数さん:2011/02/24(木) 01:25:11.38
ガンバレ!

81 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/24(木) 03:46:08.09
153から170まで範囲で、手を加えたり配列を変えたりしてるので
時間がかかってます(´・ω・`)いましばらくお待ち下さい

82 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/24(木) 03:48:11.56
とりあえず今日はもう寝る
  <⌒/ヽ-、___
/<_/____/


83 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/26(土) 00:52:09.38
ちょっと中途半端ですが、保守的な意味も込めて
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf573
DLkey gauss


84 : ◆41yyeRTLRU :2011/02/26(土) 00:54:57.56
内容的に新しいところは5、8、9、10です。

85 : ◆41yyeRTLRU :2011/03/02(水) 13:36:01.53
DA171,172
ttp://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf591
DLkey gauss

86 : ◆41yyeRTLRU :2011/03/25(金) 20:56:36.32
DA153-178
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf678
DLkey gauss



87 :132人目の素数さん:2011/03/27(日) 22:34:11.05
お疲れ

88 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 00:57:52.16
DA171-183
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=pdf700
DLkey gauss

しばらく手書きです。時間のあるときに整理するかもです。

89 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 09:08:13.14
今までのところのまとめ。

M=ax^2+bxy+cy^2の整数解を求める統一的な方法を考える。
この不定方程式が解を持つとき、x^2≡D (mod.4M)は解を持ち、
それをN (mod.2M)とすると、T∈SL_2(Z)が存在して、
tT(a,b/2;b/2,c)T=(M,N/2;N/2,P)とできる。
T=(α,β;γ,δ)とすると、M=aα^2+bαγ+cγ^2なので、
整数解を求める問題はTを求める問題に帰着される。

90 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 09:14:46.82
すべての変換行列Tを求める問題は、変換行列が一つ与えられていれば、
不定方程式x^2−Dy^2=4r^2の整数解を求める問題に帰着される。
ただし、rは2次形式の係数の最大公約数である。

91 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 09:20:58.72
2次形式F_1とF_2が同値であることを、
T∈SL_2(Z)が存在して、tTF_1T=F_2である定義する。

変換行列を一つ求める問題は、上の同値関係による代表系を求めることによって
なされる。この代表系は簡約形式と呼ばれる。
F_1とF_2に同値な簡約形式fが与えられると、F_1とf、F_2とfの変換行列を
それぞれ求めることができるので、それによりF_1とF_2の変換行列を求めることが
できる。


92 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 09:25:08.94
判別式が負の場合、同値な簡約形式は高々2個であるので、話は比較的簡単になる。
判別式が正の場合、同値な簡約形式の個数はもっと大きくなり、複雑になる。

とりあえず以上です。

このあたりはガウスのオリジナルではなく、ラグランジュなどがすでに見つけていて、
ガウスはそれを整理した、というのをどこかで読みました。たぶんブルバキ数学史。

93 : ◆41yyeRTLRU :2011/04/02(土) 09:47:01.58
ガウスの二次形式論以降、
二次形式論→二次体論(円分体論)→代数的整数論
という流れがありますが、これに比べると高次形式論はあまり進展がないようです。
上の方でも少し話題がありましたが。
比較的最近Bhargavaという数学者が高次形式の合成を見つけたそうです。

94 : ◆41yyeRTLRU :2011/05/01(日) 11:12:26.07
落ちたらチラシの裏にでもあげるです(´・ω・`)

95 :132人目の素数さん:2011/05/04(水) 20:04:19.03
>>88
エラーになりますが

96 : ◆41yyeRTLRU :2011/05/18(水) 21:01:11.00
流れたみたいですね。少々お待ちください。

97 : ◆41yyeRTLRU :2011/05/20(金) 23:38:59.63
153-177
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file849
178-181
http://aniblo02.ddo.jp/pdfup/index.php?m=dp&n=file850

DLkey gauss

98 : ◆41yyeRTLRU :2011/05/20(金) 23:41:09.83
続きを再開できるのは夏休みまでムリかなぁ(´・ω・`)

99 :あんでぃは弱虫 ◆AdkZFxa49I :2011/06/09(木) 22:04:36.88
あんでぃ

100 :132人目の素数さん:2011/07/02(土) 01:41:02.98
4元二次形式とか5元二次形式とか一般のN元二次形式とかになったら、
ますます複雑怪奇になるのでしょうか?それともむしろ簡単になる?

101 :132人目の素数さん:2011/07/02(土) 03:55:20.82
テンソル積表現を考えよ。

102 :132人目の素数さん:2011/07/02(土) 12:10:34.38
二次形式からやって良かっただろ(ドヤ顔

103 : ◆41yyeRTLRU :2011/08/02(火) 12:37:59.63
レジュメ

183 非平方である正の判別式を形式の簡約形式

184 任意の簡約形式は左右のどちら側からもただひとつの簡約形式によって隣接される

185 与えられた判別式Dをもつ簡約形式は有限個

186 184、185より判別式Dの任意の簡約形式F_0に対して
   F_iがF_{i-1}に右側から隣接するような相異なる形式の列
   (F_0, F_1, ・・・, F_{n-1})が存在する。これをF_0の周期と呼ぶ。

104 : ◆41yyeRTLRU :2011/08/02(火) 12:43:15.05
187 (a,b,c)、(c,b,a)を随伴形式と呼ぶ。
   簡約形式F_0の周期を(F_0, F_1, ・・・, F_{n-1})とし、
   f_iをF_iの随伴形式とする。このとき、f_0の周期は
   (f_0, f_1, ・・・, f_{n-1})となる。
   F_0の周期とf_0の周期が一致するためにはF_0の周期の中にちょうど2つの
   双性形式が存在することが必要十分である。

193 F,fを固有に同等な簡約形式とすると、一方は他方の周期に含まれる。

105 :132人目の素数さん:2011/08/08(月) 15:05:27.22
[S]
東大,
弁護士,
Re,

106 :132人目の素数さん:2011/08/08(月) 15:17:13.13
[A]
TS10,SBR,VFK10,TKK,VF1,LCCR,SINX,
VF1M4,VF1L2,VF1H2,EMPC,MPE,
4231,4213,3331,3313,145,53A3,6236,
EMPCB,EMJ,LP,CJ,F4,LC,DNA,RNA,
SINT,JEL,23458,2348,DBT,GMO,
AB,APLWJKSJ,PES,WE,CA,RR,ASL,
EPH,ITU,261036,CBS6,1358,G1,AS3,M5,

107 :132人目の素数さん:2011/08/08(月) 15:33:02.51
[A]
TS10,SBR,VFK10,TKK,VF1,LCCR,SINX,
VF1M4,VF1L2,VF1H2,EMPC,MPE,
4231,4213,3331,3313,145,53A3,6236,
EMPCB,EMJ,LP,CJ,F4,LC,DNA,RNA,
SINT,JEL,23458,2348,DBT,GMO,
AB,APLWJKSJ,PES,WE,CA,RR,ASL,
EPH,ITU,261036,CBS6,1358,G1,AS3,M5,

108 :132人目の素数さん:2011/08/08(月) 15:34:59.28
>>256
[A]
TS10,SBR,VFK10,TKK,VF1,LCCR,SINX,
VF1M4,VF1L2,VF1H2,EMPC,MPE,
4231,4213,3331,3313,145,53A3,6236,
EMPCB,EMJ,LP,CJ,F4,LC,DNA,RNA,
SINT,JEL,23458,2348,DBT,GMO,
AB,APLWJKSJ,PES,WE,CA,RR,ASL,
EPH,ITU,261036,CBS6,1358,G1,AS3,M5,

109 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 17:42:07.87
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年5月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

110 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 17:42:59.85
魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険知ったかブッタの日本人
失敗作


テロ資料を忘れずに

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